درسنامه آموزشی فصل هفتم ریاضی کلاس نهم
درس 1: معرفی و ساده کردن عبارتهای گویا
مسئله
طول مستطیلی 4 سانتیمتر از عرض آن بیشتر است. اگر نسبت عرض به طول این مستطیل $\frac{2}{3}$ باشد، طول و عرض آن را به دست آورید.
اگر x را عرض مستطیل در نظر بگیریم، طول آن $x+4$ است و نسبت عرض به طول را میتوان با $\frac{x}{x+4}$ نمایش داد؛ بنابراین:
$\frac{x}{x+4}=\frac{2}{3}$
عرض $\Rightarrow 3x=2x+8\Rightarrow x=8$
$=12$ طول
عبارت $\frac{x}{x+4}$ را، که نسبت دو چندجملهای است، عبارت گویا مینامیم.
از عبارتهای گویا در ریاضیات، علوم، پزشکی، مهندسی، اقتصاد و بسیاری از زمینههای دیگر استفاده میشود؛ به طور مثال سرعت متوسط اتومبیلی که مسیری را با سرعت ${{v}_{1}}$ طی کرده و سپس از همان مسیر با سرعت ${{v}_{2}}$ بازگشته است، از رابطهٔ $\frac{2{{v}_{1}}{{v}_{2}}}{{{v}_{1}}+{{v}_{2}}}$ به دست میآید که عبارت گویای جبری است. برخی از مثالهای دیگر از این قرار است:
|
$\frac{2k}{{{v}^{2}}}$ محاسبهٔ جرم یک جسم با |
میانگین حسابی دو عدد a و b $\frac{a+b}{2}$ |
با توجه به تعریف بالا عبارتهای زیر گویا هستند:
$\frac{{{x}^{2}}-\sqrt{3}x+1}{9xy}$ و $\frac{x}{y}$ و $\frac{x-3}{4}$ و $\frac{2}{5}$ و $\frac{-a}{4}$ و $\frac{x+5}{x-1}$ و $\frac{2x-5}{5{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+1}$ و ${{x}^{3}}+2x-7$ و $\frac{-a}{b}$ و $\frac{{{x}^{3}}}{1}$ و $\frac{x{{y}^{2}}}{{{(x-y)}^{2}}}$ و $\frac{3x+\sqrt{7}}{{{x}^{2}}}$ و $\frac{10}{x+2}$ و $\frac{1}{x}$
امّا عبارتهای زیر گویا نیستند. (چرا؟)
$\frac{1}{\sqrt{x-2}}$ و $|x-y|$ و $\frac{\sqrt{x}}{x+y}$ و $\sqrt{xy}$
کار در کلاس (صفحهٔ 115 کتاب درسی)
کدام یک از عبارتهای زیر گویاست؟
$\frac{\left| x \right|+\left| y \right|}{x}$ (غ) و $\frac{\sqrt{2x}}{25}$ (غ) و $\frac{\sqrt{3}+x}{5}$ (ص) و $\frac{ah}{2}$ (ص) و $\frac{x+6}{3}$ (ص) و $\frac{7}{x-1}$ (ص)
$\frac{3-a}{2+x}$ (ص) و $14$ (ص) و $\frac{mn+{{n}^{2}}}{5-n}$ (ص) و $\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ (غ) و $\frac{x-5}{\sqrt{3}+1}$ (ص) و $\frac{x\sqrt{y}+1}{{{x}^{2}}}$ (غ)
فعالیت (صفحهٔ 115 کتاب درسی)
مقدار عددی عبارت $\frac{x+5}{x-3}$ را به ازای عددهای داده شده در جدول زیر به دست آورید:
| 5- | 1- | 0 | $\frac{1}{2}$ | 7 | 2- | x |
| $\frac{-5+5}{-5-3}=\frac{0}{-8}=0$ | $\frac{-1+5}{-1-3}=\frac{4}{-4}=-1$ | $\frac{0+5}{0-3}=\frac{5}{3}$ | $\frac{\frac{1}{2}+5}{\frac{1}{2}-3}=\frac{\frac{11}{2}}{\frac{-5}{3}}=-\frac{11}{5}$ | $\frac{7+5}{7-3}=\frac{12}{4}=3$ | $\frac{-2+5}{-2-3}=\frac{3}{-5}$ | $\frac{x+5}{x-3}$ |
به ازای $x=3$ مخرج عبارت گویای $\frac{x+5}{x-3}$ مساوی صفر میشود و همان گونه که از قبل میدانید، $\frac{8}{0}$ به عنوان عدد تعریف نمیشود.
مثال:
عبارت گویای $\frac{7{{x}^{2}}+1}{(x-1)(x+2)}$ به ازای چه مقادیری از x تعریف نشده است؟
حل: چه مقادیری مخرج کسر را صفر میکند؟
برای یافتن این عددها، مخرج کسر را مساوی صفر قرار میدهیم؛ یعنی:
$(x-1)(x+2)=0$
از طرفی وقتی حاصل ضرب چند عبارت برابر صفر شود، حداقل یکی از آنها صفر است؛ لذا:
بنابراین عبارت گویای فوق به ازای $x=1$ و $x=-2$ تعریف نشده است.
کار در کلاس (صفحهٔ 116 کتاب درسی)
هر یک از عبارتهای زیر به ازای چه مقادیری از متغیرها تعریف نشده است؟
$\frac{8x+5}{2}$ (الف
$\frac{7+x}{x}$ (ب
$\frac{2b+1}{2b-1}$ (ج
$\frac{3x}{{{x}^{2}}+4}$ (د
$\frac{x}{{{x}^{2}}-1}$ (هـ
$\frac{a+5}{{{a}^{2}}-5a+6}$ (و
الف) به ازای تمامی مقادیر تعریف شده میباشد.
ب) $x=0$
ج) $2b-1=0\Rightarrow b=\frac{1}{2}$
د) ${{x}^{2}}+4$ همواره بزرگتر از صفر میباشد و به ازای تمام مقادیر تعریف شده میباشد.
هـ) $(x-1)(x+1)=0\,\Rightarrow \left\{ \begin{align}
& x-1=0\,\Rightarrow x=1 \\
& x+1=0\,\Rightarrow x=-1 \\
\end{align} \right.$
و) $(a-2)(a-3)=0\,\Rightarrow \left\{ \begin{align}
& a-2=0\,\Rightarrow a=2 \\
& a-3=0\,\Rightarrow a=3 \\
\end{align} \right.$
ساده کردن یک عبارت گویا
کسر $\frac{36}{48}$ با کسرهای $\frac{9}{12}$ ، $\frac{6}{8}$ ، $\frac{18}{24}$ و $\frac{3}{4}$ مساوی است. بین این کسرها $\frac{3}{4}$ کسری است که دیگر قابل ساده شدن نیست؛ در واقع:
$\frac{36}{48}=\frac{3\times \cancel{12}}{4\times \cancel{12}}=\frac{3}{4}$
در ساده کردن هر عدد گویا میتوان صورت و مخرج را به عددی غیرصفر تقسیم کرد؛ یعنی
$\frac{ac}{bc}=\frac{a}{b}(b\ne 0,c\ne 0)$
به همین ترتیب برای عبارت گویای $\frac{AC}{BC}$ داریم:
(A و B و C چند جملهای هستند و $C\ne 0$ و $B\ne 0$ ) $\frac{AC}{BC}=\frac{A}{B}$
فعالیت (صفحهٔ 116 کتاب درسی)
هر یک از عبارتهای گویای زیر چگونه ساده شده است؟ هر جا لازم است، راه حل را کامل کنید (چگونگی استفاده از اتحادها و تجزیه را در هر مورد توضیح دهید).
$\frac{18{{y}^{3}}}{60{{y}^{5}}}=\frac{3}{10{{y}^{2}}}$ (الف
صورت و مخرج بر $6{{y}^{3}}$ تقسیم شدهاند.
$\frac{{{x}^{2}}+6x+9}{{{x}^{2}}+4x+3}=\frac{(x+3)\cancel{(x+3)}}{(x+1)\cancel{(x+3)}}=\frac{x+3}{x+1}$ (ب
صورت و مخرج از روش اتحاد یک جمله مشترک تجزیه شدهاند.
$\frac{{{y}^{2}}-9}{3y+9}=\frac{(y+3)(y-3)}{3(y+3)}=\frac{{}}{{}}$ (ج
صورت از روش اتحاد مزدوج و مخرج از روش فاکتورگیری تجزیه شده است.
$\frac{{{y}^{2}}-9}{3y+9}=\frac{(y+3)(y-3)}{3(y+3)}=\frac{y+3}{3}$
$\frac{8a{{b}^{7}}}{20{{a}^{2}}{{b}^{3}}}=\frac{2{{b}^{4}}}{{}}$ (د
صورت و مخرج بر $4a{{b}^{3}}$ تقسیم شدهاند.
$\frac{8a{{b}^{7}}}{20{{a}^{2}}{{b}^{3}}}=\frac{2{{b}^{4}}}{5a}$
$\frac{b-5}{5-b}=\frac{b-5}{-(5-b)}=-1$ (هـ
در مخرج از یک منفی فاکتور گرفته شده است.
کار در کلاس (صفحهٔ 117 کتاب درسی)
1- عبارتهای گویای زیر را ساده کنید:
$=\frac{(m-4)(m+4)}{-(m-4)}=-(m+4)$$\frac{{{m}^{2}}-16}{4-m}$ (الف
$=\frac{6(m+3)}{7(m+3)}=\frac{6}{7}$$\frac{6m+18}{7m+21}$ (ب
$=\frac{(a-7)(a+2)}{(a-1)(a+2)}=\frac{a-7}{a-1}$$\frac{{{a}^{2}}-5a-14}{{{a}^{2}}+a-2}$ (ج
$=\frac{({{x}^{2}}+{{y}^{2}})({{x}^{2}}-{{y}^{2}})}{y-x}=\frac{({{x}^{2}}+{{y}^{2}})(x-y)(x+y)}{-(x-y)}=-({{x}^{2}}+{{y}^{2}})(x+y)$$\frac{{{x}^{4}}-{{y}^{4}}}{y-x}$ (د
2- عبارت $\frac{a+ax}{a}$ به دو شکل ساده شده؛ کدام درست و کدام نادرست است؟
$\frac{a+\cancel{ax}}{\cancel{a}}=a+x$ (الف
$\frac{a+ax}{a}=\frac{a(1+x)}{a}=1+x$ (ب
الف) درست ب) نادرست
تمرین (صفحهٔ 117 کتاب درسی)
1- برای هر عبارت گویا، مقادیری را به دست آورید که عبارت به ازای آنها تعریف نشده است.
$3a{{b}^{2}}=0\left\{ \begin{align}
& a=0 \\
& {{b}^{2}}=0\,\Rightarrow b=0 \\
\end{align} \right.$ $\frac{5x}{3a{{b}^{2}}}$ (الف
$\frac{2y}{y(2y-6)}$ (ب
$\begin{align}
& y=(2y-6)=0\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
y=0 \\
y-6=0 \\
\end{matrix} \right. \\
& \begin{matrix}
\begin{matrix}
{} & {} & {} \\
\end{matrix} & {} & {} & {} \\
\end{matrix}2y-6=0\Rightarrow y=3 \\
\end{align}$
$\frac{2p}{{{P}^{2}}-P-12}$ (ج
${{P}^{2}}-P-12=0\Rightarrow (P-4)(P+3)=0\Rightarrow \left\{ \begin{align}
& P-4=0\Rightarrow P=4 \\
& P+3=0\Rightarrow P=-3 \\
\end{align} \right.$
$x=0$ $\frac{2x+5}{x}$ (د
$x+5=0\,\Rightarrow x=-5$ $\frac{{{x}^{2}}-1}{x+5}$ (هـ
2- حاصل هر عبارت را به سادهترین صورت بنویسید:
$\Rightarrow \frac{-(x-3)}{(x-3)(x-2)}=\frac{-1}{x-2}$ $\frac{3-x}{{{x}^{2}}-5x+6}$ (الف
$\Rightarrow \frac{4x(x+2)}{12(x+2)}=\frac{x}{3}$ $\frac{4{{x}^{2}}+8x}{12x+24}$ (ب
$\Rightarrow \frac{24{{x}^{2}}}{6x(2x-1)}=\frac{4x}{2x-1}$ $\frac{24{{x}^{2}}}{12{{x}^{2}}-6x}$ (ج
$\Rightarrow \frac{y(y-3)(y+1)}{y(y+1)}=y-3$ $\frac{{{y}^{3}}-2{{y}^{2}}-3y}{{{y}^{2}}+y}$ (د
$\Rightarrow \frac{3{{a}^{3}}}{2{{b}^{6}}}$ $\frac{6{{a}^{4}}{{b}^{2}}}{4a{{b}^{8}}}$ (و
$\Rightarrow \frac{(1-{{t}^{2}})(1+{{t}^{2}})}{({{t}^{2}}+1)}=1-{{t}^{2}}$ $\frac{1+{{t}^{4}}}{{{t}^{2}}+1}$ (هـ
3- عبارتهایی را که حاصل آنها 1 و یا 1- است، معلوم کنید.
$\frac{2y+3x}{2y-3}$ (الف
$=-1$$\frac{2y+3x}{2y-3}$ (ب
$=1$$\frac{2y+3}{3+2y}$ (ج
$=-1$$\frac{2y+3}{-2y-3}$ (د
4- هر یک از عبارتهای داده شده در سطر اول را به عبارت مساوی آن در سطر دوم وصل کنید.
$\frac{a-2}{a+5}$ (1
$\frac{a+2}{a+5}$ (2
$\frac{2-a}{a+5}$ (3
$\frac{-a-2}{-a-5}$ (4
$\frac{a-2}{-a-5}$ (5
$\frac{2-a}{-a-5}$ (6
عبارت (2 و 4) (3 و 5) (1 و 6)
5- از عبارتهای زیر، هر کدام را که با عبارت $\frac{z(x+y)}{t}$ برابر است، مشخص کنید.
$\frac{z}{t}=(x+y)$ (الف
$\frac{zx+y}{t}$ (ب
$\frac{1}{t}\times z(x+y)$ (ج
$z\times \frac{x+y}{t}$ (د
$\frac{zx}{t}+\frac{zy}{t}$ (هـ
$\frac{zx}{t}+y$ (و
(الف - ج - د - ه)
6- در جای خالی چه عبارتی باید نوشت؟
$\frac{1-z}{z}=$$\frac{(1-z)({{z}^{2}}+1)}{{{z}^{3}}+z}$ (الف
$\frac{3x}{x-3}=\frac{3x(x+2)}{{{x}^{2}}-x-6}$ (ب
$\frac{3y+2}{5}=\frac{1}{5}(3y+2)$ (ج
$\frac{(x-5)((x-2)(x+1))}{(x-2)(x-5)}=x+1$ (د